跳到主要内容

什么是微积分?

微积分是数学的分支,探索变量以及如何通过在叫做无限的小块中查看它们的变化 无穷小。今天实践的微积分在英国科学家17世纪发明了 艾萨克·牛顿 (1642年至1726年)和德国科学家Gottfried Leibnitz(1646年到1716年),他们分别独立制定了几何和象征数学传统的微积分原则。 

虽然这两个发现对于今天的微积分最重要,但它们并不是孤立的事件。至少有两种众所周知:阿基米德(287到212 B.C.)在古希腊和BHāSkara II(A.D.1114至1185)在中世纪印度在17世纪以前发展了微积分观念。悲惨地,这些发现的革命性要么被认可,而且在其他新的和难以理解的想法中被埋葬在近代他们几乎被遗忘。

“微积分”这个词具有适度的原点,从诸如“计算”和“计算”之类的类似词语中,但所有这些词都从拉丁语(或甚至旧的)根本意义为“鹅卵石”。在古代世界中,Calculi是用于跟踪牲畜和谷物储备的石珠(今天,Calculi是在胆囊,肾脏或身体其他部位形成的小石头)。

无限的效用

要了解Infinitsimal的意思,请考虑圆形区域的公式:a =πr²。以下演示由康奈尔史蒂夫教授给出的一项给出的,尽管这种公式的简单性,但是无法派生的 没有无限的效用.

为了开始,我们认识到圆圈的圆周除以其直径(或半径的两倍)是约3.14,比率表示为 pi( π)。通过这些信息,我们可以编写圆周的公式:c = 2πr。要确定一个圆形的区域,我们可以通过将圆圈切成八个饼干并重新排列它们看起来像这样:

重新排列八个馅饼。 (图片信用:Robert J. Coolman)

我们看到短,直边等于原始圆的半径(r),而且长,波浪侧等于圆周的一半(πr)。如果我们用16件重复这一点,它看起来像这样:

重新排列16个饼干。 (图片信用:Robert J. Coolman)

再次,我们看到短,直边等于原来的圆形半径(r),而且长,波浪侧等于圆周的一半(πr),但侧面之间的角度更接近直角,长边较小。无论我们增加多少,我们将圆圈增加到圆圈中,短侧和长边保持相同的相应长度,侧面之间的角度逐渐更接近直角,并且长边逐渐变得越来越多的波浪。

现在,让我们想象我们将馅饼切成了无限数量的切片。在数学的语言中,切片被描述为“无限厚的”,因为切片数量“被视为无穷大的极限”。“在这个限制,侧面仍然有长度r和 πR,但它们之间的角度实际上是直角,长边的波形已经消失,意味着我们现在有一个矩形。

重新排列无限数量的馅饼楔子。 (图片信用:Robert J. Coolman)

计算该区域现在只是长度× width: πr × r=πr²。这种情况下的例子示例说明了检查变量的力量,例如圆的区域,作为无穷小部的集合。

两半的微积分

对微积分的研究有两半。上半场,叫 差分微积分,侧重于检查个体无穷小,在那个无限小块内发生的事情。下半场,叫 积分微积分,专注于将无限数量的无限数量(如上图所示)。积分和衍生物是彼此的对立面,大致被称为 微积分的基本定理。要探索这是如何,让我们在日常例子上绘制:

将球直接抛入空气中,从初始高度为3英尺,初始速度为每秒19.6英尺(FT / SEC)。

如果我们在时间随时间绘制球的垂直位置,我们得到了一种熟悉的形状,称为a 抛物线 .

差分微积分

在沿着该曲线的各个点,球正在改变速度,因此没有时间以恒定速率行进的时间。但是,我们可以在任何时间轴上找到平均速度。例如,为了找到0.1秒至0.4秒的平均速度,我们在两次找到球的位置并在它们之间绘制一条线。与其宽度相比,这条线将升高一些数量(它有多远)。这种比率通常被称为 ,量化为上升÷跑步。在一个位置与时间图之间,斜率表示速度。该线路从4.8英尺到8.3英尺升起 上升 3.5英尺。同样,该行从0.1秒运行到0.4秒 跑步 0.3秒。这条线的坡度是球在这条旅程中的平均速度:上升÷ run = 3.5 feet ÷0.3秒=每秒11.7英尺(FT / SEC)。

当它被直接从3英尺的高度和每秒19.6英尺的速度抛出时,球的垂直位置随着时间的推移的进展。平均速度为0.1秒至0.4秒是11.7英尺/秒。 (图片信用:Robert J. Coolman)

在0.1秒时,我们看到曲线比我们计算的平均值更陡峭,这意味着球在11.7英尺/秒钟上移动了一点。同样,在0.4秒时,曲线有点级别,这意味着球在11.7英尺/秒钟上移动速度较慢。那种速度从更快地进入到较慢的意味着必须是一个瞬间,球实际在11.7英尺/秒的行驶中行驶。我们如何确定这一瞬间的确切时间?

让我们备份并观察0.1秒至0.4秒的跨度不是球的平均速度为11.7英尺/秒的速度。只要我们维持线路的斜率,我们就可以将其移动到这个曲线上,并且两者之间的时间速度超过了剪辑的平均速度曲线仍然是11.7英尺/秒。如果我们向抛物线的边缘移动到抛物线的边缘,则时间轴减少。当时的时间达到零,点在同一点和线上占据了 切相向 (几乎没有休息)抛物线。 Timespan被描述为“被视为零限制”。

在0.25秒的瞬间,球's velocity is 11.7 feet per second. (图片信用:Robert J. Coolman)

这是无限介绍进入游戏的地方。直到这一点,我们已经在有限的时间内谈到​​了速度,但现在我们正在谈论瞬间的速度;无限长度的时间纪念品。请注意,我们如何在分开的两点之间取斜率;我们已经上升了÷ run = 0 feet ÷0秒,这没有任何意义。要在曲线上找到任何点的斜率,而是找到切线线的斜率。六点的结果绘制下面:

以六点划分切线的斜率以获得衍生物。 (图片信用:Robert J. Coolman)

此图表是已知原始图形的 衍生物 。在数学和物理学的语言中,据说“物体相对于时间的衍生物的阶梯是对象的速度。”

Integral calculus

这个过程也在反向工作。与衍生物的相反是 不可缺少的 。因此,“对象速度相对于时间的积分是对象的位置。”我们通过计算斜坡找到了衍生品;我们通过计算领域找到积分。在速度与时间图之间,区域表示长度。在处理三角形和梯形的图表下找到区域的问题是相对简单的,但是当图表是曲线而不是直线时,必须将区域分成具有无穷大的厚度的无限数量的矩形(类似于我们添加的方式一个无限数量的无限馅饼楔以获得圆形区域)。

在六点下占用累积区域以获得一体化。 X轴下方的区域(以红色显示)为负,因此它们会降低总面积。 (图片信用:Robert J. Coolman)

您可能已经注意到这种积分图并不完全给我们与我们开始的相同的垂直位置图。这是因为它只是许多垂直位置图中的一个,所有垂直位置图都具有相同的衍生物。一些类似的曲线如下所示:

所有位置曲线的一些例子都具有相同的衍生物。通过初始条件识别所需的曲线,其显示为虚线的红色圆圈。 (图片信用:Robert J. Coolman)

为了确定哪些曲线将给我们原始的位置图,我们还必须在一定时间内使用一些关于球的位置的知识。这的示例包括将其抛出的高度(在零时的球的垂直位置),或者它撞击地面的时间(垂直位置为零的时间)。这被称为 初始条件 因为我们通常担心预测后发生的事情,但它是一个错误的错误,因为初始条件也可以来自图形的中间或末端。

额外资源